Верно опре­де­ле­на ос­но­ва в ва­ри­ан­тах:

(1)  [Ле­то­пись  — ис­то­ри­че­ское про­из­ве­де­ние], (в ко­то­ром по­вест­ву­ет­ся о прав­ле­нии кня­зей, бит­вах и по­хо­дах, стро­и­тель­стве церк­вей, не­обык­но­вен­ных и ужас­ных при­род­ных яв­ле­ни­ях, страш­ных эпи­де­ми­ях).  — Это слож­но­под­чинённое пред­ло­же­ние. В глав­ной части под­ле­жа­щее и ска­зу­е­мое вы­ра­же­ны су­ще­стви­тель­ны­ми в име­ни­тель­ном па­де­же, по­это­му между ними ста­вит­ся тире.

(3)  [Одним из пер­вых рус­ских ле­то­пис­цев был монах Не­стор, по­ра­зи­тель­но одарённый че­ло­век]: [он знал ви­зан­тий­ские ис­то­ри­че­ские хро­ни­ки, (в ко­то­рых за­пись ве­лась по годам), ста­рин­ные до­го­во­ры, на­род­ные пре­да­ния, со­би­рал и за­пи­сы­вал рас­ска­зы со­вре­мен­ни­ков].  — В при­да­точ­ной части этого слож­но­го пред­ло­же­ния ос­но­ва опре­де­ле­на аб­со­лют­но верно.

(4)  [Ле­то­пи­сец ста­рал­ся вы­яс­нить], («от­ку­да есть пошла рус­ская земля»), [его ин­те­ре­со­ва­ли имена пер­вых рус­ских кня­зей]; [с болью и не­го­до­ва­ни­ем опи­сы­вал Не­стор кня­же­ские рас­при, бед­ствия сво­е­го на­ро­да, на­бе­ги за­хват­чи­ков].  — Это слож­ное пред­ло­же­ние с раз­ны­ми ви­да­ми связи. В одной из бес­со­юз­ных ча­стей грам­ма­ти­че­ская ос­но­ва со­сто­ит из под­ле­жа­ще­го и ска­зу­е­мо­го.

Не­вер­но опре­де­ле­на ос­но­ва в ва­ри­ан­тах:

(2)  [Впер­вые на Руси на­ча­ли за­пи­сы­вать све­де­ния о про­ис­хо­див­ших со­бы­ти­ях более ты­ся­чи лет назад, в XI веке].  — Пред­ло­же­ние од­но­со­став­ное (не­опре­делённо-лич­ное), в нём есть толь­ко ска­зу­е­мое. Су­ще­стви­тель­ное «све­де­ния» стоит в ви­ни­тель­ном па­де­же (на­ча­ли за­пи­сы­вать что?) и яв­ля­ет­ся пря­мым до­пол­не­ни­ем.

(5)  [С те­че­ни­ем вре­ме­ни во мно­же­стве боль­ших и малых рус­ских го­ро­дов стали со­зда­вать свои ле­то­пи­си], а [после об­ра­зо­ва­ния еди­но­го Рус­ско­го го­су­дар­ства, в конце XV века, ве­де­ние ле­то­пи­сей стало го­су­дар­ствен­ным делом].  — В пер­вой части слож­но­со­чинённого пред­ло­же­ния ска­зу­е­мое «стали со­зда­вать» (это од­но­со­став­ное не­опре­делённо-лич­ное пред­ло­же­ние). Су­ще­стви­тель­ное «ле­то­пи­си» стоит в ви­ни­тель­ном па­де­же (стали со­зда­вать что?) и яв­ля­ет­ся до­пол­не­ни­ем, в ос­но­ву оно вхо­дить не может.

Не по­па­ди в кап­кан! В ва­ри­ан­тах 2 и 5 ав­то­ры за­да­ния ловко пред­ла­га­ют при­нять слова в ви­ни­тель­ном па­де­же («све­де­ния», «ле­то­пи­си») за под­ле­жа­щее. За­пом­ни­те важ­ное пра­ви­ло: под­ле­жа­щее все­гда стоит толь­ко в име­ни­тель­ном па­де­же (Кто? Что?). Чтобы без­оши­боч­но про­ве­рить не­оду­шевлённое су­ще­стви­тель­ное (у ко­то­ро­го формы име­ни­тель­но­го и ви­ни­тель­но­го па­де­жей часто сов­па­да­ют), мыс­лен­но за­ме­ни­те его на слово 1-го скло­не­ния (на­при­мер, «лиса» или «вода»): на­ча­ли за­пи­сы­вать (кого? что?  — лису/воду)  — окон­ча­ние -у под­ска­зы­ва­ет, что это ви­ни­тель­ный падеж, а зна­чит, перед нами до­пол­не­ние, а не под­ле­жа­щее!

Ответ: 134.