Опре­де­лим нуж­ную форму гла­го­ла. Под­ле­жа­щее «куз­не­чик» стоит в 3-м лице един­ствен­но­го числа, а кон­текст (од­но­род­ное ска­зу­е­мое «пря­чет­ся») ука­зы­ва­ет на форму на­сто­я­ще­го вре­ме­ни: куз­не­чик (что де­ла­ет?).

Гла­гол стре­ко­тать от­но­сит­ся к I спря­же­нию. При об­ра­зо­ва­нии форм на­сто­я­ще­го вре­ме­ни в корне про­ис­хо­дит ис­то­ри­че­ское че­ре­до­ва­ние со­глас­ных (т//ч), а гла­голь­ный суф­фикс -а- усе­ка­ет­ся: стре­ко­тать  — стре­ко­чу, стре­ко­чешь, стре­ко­чет (по этой же мо­де­ли из­ме­ня­ют­ся гла­го­лы пря­тать  — пря­чет, шеп­тать  — шеп­чет, топ­тать  — топ­чет).

По­сколь­ку гла­гол I спря­же­ния, в лич­ном окон­ча­нии пи­шет­ся глас­ная Е.

Пра­виль­но: куз­не­чик стре­ко­чет.

Гру­бая ошиб­ка: ска­зать или на­пи­сать «стре­ко­та­ет» (оши­боч­ное об­ра­зо­ва­ние формы без че­ре­до­ва­ния со­глас­ных и усе­че­ния ос­но­вы) или «стре­ко­чит» (ошиб­ка в без­удар­ном лич­ном окон­ча­нии).

Ответ: стре­ко­чет.