Верно опре­де­ле­на ос­но­ва в ва­ри­ан­тах:

(1)  [До­ро­ги  — один из древ­ней­ших па­мят­ни­ков ци­ви­ли­за­ции].  — В про­стом пред­ло­же­нии грам­ма­ти­че­ская ос­но­ва опре­де­ле­на аб­со­лют­но верно. Ска­зу­е­мое вы­ра­же­но син­так­си­че­ски не­де­ли­мым сло­во­со­че­та­ни­ем.

(5)  [Ино­гда их на­зва­ния ме­ня­ют­ся], и [мы, вв.сл.на­при­мер, идя по мос­ков­ско­му шоссе Эн­ту­зи­а­стов, редко вспо­ми­на­ем о том], (что под но­га­ми у нас про­хо­дит древ­няя Вла­ди­мир­ка  — до­ро­га на Вла­ди­мир), (ко­то­рая от­ту­да тя­нет­ся ещё даль­ше, в Си­бирь).  — В пер­вой части слож­но­го пред­ло­же­ния с раз­ны­ми ви­да­ми связи грам­ма­ти­че­ская ос­но­ва опре­де­ле­на аб­со­лют­но верно.

Не­вер­но опре­де­ле­на ос­но­ва в ва­ри­ан­тах:

(2)  [До­ро­ги про­кла­ды­ва­ли по не­про­хо­ди­мым ме­стам, про­ру­ба­ли в дре­му­чих лесах, их мо­сти­ли]: [укла­ды­ва­ли на рых­лый слой земли брёвна, камни], (чтобы легче было идти или ехать).  — В пер­вой части слож­но­го пред­ло­же­ния есть толь­ко од­но­род­ные ска­зу­е­мые (од­но­со­став­ное не­опре­делённо-лич­ное пред­ло­же­ние). Су­ще­стви­тель­ное «до­ро­ги» стоит в ви­ни­тель­ном па­де­же (про­кла­ды­ва­ли что?) и яв­ля­ет­ся пря­мым до­пол­не­ни­ем.

(3)  [Мно­гие улицы ста­рых го­ро­дов  — это древ­ние до­ро­ги].  — В со­став грам­ма­ти­че­ской ос­но­вы оши­боч­но вклю­че­но не­со­гла­со­ван­ное опре­де­ле­ние «ста­рых го­ро­дов» (улицы какие/чьи?  — го­ро­дов). Под­ле­жа­щее вы­ра­же­но толь­ко сло­вом «улицы».

(4)  [Ино­гда они со­хра­ня­ют ста­рые на­зва­ния]: [в Москве Яро­слав­ское шоссе яв­ля­ет­ся ча­стью древ­ней до­ро­ги от Моск­вы до Яро­слав­ля].  — Ска­зу­е­мое здесь со­став­ное имен­ное («яв­ля­ет­ся ча­стью»). Гла­гол-связ­ка «яв­ля­ет­ся» не имеет пол­но­цен­но­го лек­си­че­ско­го зна­че­ния, по­это­му не может быть са­мо­сто­я­тель­ным ска­зу­е­мым. Под­ле­жа­щим яв­ля­ет­ся слово «шоссе» (или цель­ное на­зва­ние «Яро­слав­ское шоссе»).

Не по­па­ди в кап­кан! В ва­ри­ан­те 2 снова мас­ки­ру­ют до­пол­не­ние в ви­ни­тель­ном па­де­же («до­ро­ги») под под­ле­жа­щее, поль­зу­ясь тем, что оно стоит в на­ча­ле пред­ло­же­ния и его форма сов­па­да­ет с име­ни­тель­ным па­де­жом. Про­ве­ря­ем за­ме­ной на слово 1-го скло­не­ния: про­кла­ды­ва­ли (кого/что?  — лису/воду)  — окон­ча­ние -у под­твер­жда­ет, что это ви­ни­тель­ный падеж. А в ва­ри­ан­те 4 пред­став­ле­на частая ло­вуш­ка с со­став­ным имен­ным ска­зу­е­мым: гла­го­лы-связ­ки (яв­ля­ет­ся, ка­жет­ся, ста­но­вит­ся, счи­та­ет­ся) почти ни­ко­гда не вы­сту­па­ют ска­зу­е­мы­ми в оди­ноч­ку, им обя­за­тель­но нужна имен­ная часть!

Ответ: 15.