Опре­де­лим нуж­ную форму чис­ли­тель­но­го. Пред­лог «до» и су­ще­стви­тель­ное «мет­ров» тре­бу­ют по­ста­нов­ки ко­ли­че­ствен­но­го чис­ли­тель­но­го «три­ста» в форму ро­ди­тель­но­го па­де­жа: до (сколь­ких?).

Пра­ви­ло гла­сит: у слож­ных ко­ли­че­ствен­ных чис­ли­тель­ных от 200 до 900 при скло­не­нии из­ме­ня­ют­ся обе части слова.

Пер­вая часть скло­ня­ет­ся как про­стое чис­ли­тель­ное три (нет трёх), а вто­рая часть в ро­ди­тель­ном па­де­же имеет форму -сот (по ана­ло­гии со сло­вом «нот»  — нет сот).

Скла­ды­ва­ем обе части вме­сте и по­лу­ча­ем: трёхсот.

Пра­виль­но: до трёхсот мет­ров.

Гру­бая ошиб­ка: ска­зать или на­пи­сать «до трёхста» (самая частая ре­че­вая ошиб­ка, при ко­то­рой из­ме­ня­ет­ся толь­ко пер­вая часть, а вто­рая остаётся в форме име­ни­тель­но­го па­де­жа) или не из­ме­нить слово во­об­ще.

Ответ: трёхсот.