Опре­де­лим нуж­ную форму гла­го­ла. Под­ле­жа­щее «по­ло­ви­на» стоит в 3-м лице един­ствен­но­го числа, а кон­текст пред­ло­же­ния (ска­зу­е­мое «от­ды­ха­ет») тре­бу­ет формы на­сто­я­ще­го вре­ме­ни: дру­гая по­ло­ви­на (что де­ла­ет?).

Чтобы пра­виль­но об­ра­зо­вать форму на­сто­я­ще­го вре­ме­ни от гла­го­ла бодрствовать, нужно пом­нить стро­гое пра­ви­ло: если на­чаль­ная форма окан­чи­ва­ет­ся на -овать / -евать, то при об­ра­зо­ва­нии форм на­сто­я­ще­го вре­ме­ни этот суф­фикс пол­но­стью ис­че­за­ет, а на его место встаёт суф­фикс -у- / -ю-.

Дей­ству­ем по ал­го­рит­му: берём ос­но­ву бодрств-, уби­ра­ем -ова-, до­бав­ля­ем -у- и окон­ча­ние 3-го лица -ет. По­лу­ча­ет­ся: бодрствует (как рисовать  — рисует, советовать  — советует).

Пра­виль­но: по­ло­ви­на бодр­ству­ет.

Гру­бая ошиб­ка: ска­зать или на­пи­сать «бодр­ство­ва­ет» (по­пыт­ка при­кле­ить лич­ное окон­ча­ние прямо к ин­фи­ни­ти­ву, не из­ме­нив суф­фикс).

Во время сна у дель­фи­на от­ды­ха­ет толь­ко по­ло­ви­на мозга: дру­гая по­ло­ви­на бодр­ству­ет.

Ответ: бодр­ству­ет.