Опре­де­лим нуж­ную форму чис­ли­тель­но­го. Пред­лог «около» тре­бу­ет по­ста­нов­ки ко­ли­че­ствен­но­го чис­ли­тель­но­го «де­вять­сот» в форму ро­ди­тель­но­го па­де­жа: около (сколь­ких?).

Пра­ви­ло гла­сит: у слож­ных ко­ли­че­ствен­ных чис­ли­тель­ных от 500 до 900 при скло­не­нии из­ме­ня­ют­ся обе части слова.

Пер­вая часть скло­ня­ет­ся как про­стое чис­ли­тель­ное де­вять (нет де­вя­ти), а вто­рая часть в ро­ди­тель­ном па­де­же имеет форму -сот (как во фразе «нет нот»).

Скла­ды­ва­ем обе части вме­сте и по­лу­ча­ем: де­вя­ти­сот.

Пра­виль­но: около де­вя­ти­сот дней.

Гру­бая ошиб­ка: на­пи­сать «де­вя­ти­ста» (по ана­ло­гии со сло­ва­ми «сорок, де­вя­но­сто, сто», у ко­то­рых толь­ко две формы) или не из­ме­нить слово во­об­ще.

Бло­ка­да Ле­нин­гра­да дли­лась с 8 сен­тяб­ря 1941 года по 27 ян­ва­ря 1944 года  — около де­вя­ти­сот му­чи­тель­ных дней.

Ответ: де­вя­ти­сот.