Имя соб­ствен­ное «Вла­сов»  — это фа­ми­лия. Чтобы по­нять суть пра­ви­ла, пред­ста­вим себе город с таким же име­нем: город Вла­сов, так мы смо­жем по­нять раз­ни­цу в окон­ча­нии имён соб­ствен­ных. Итак, фа­ми­лия (с кем?) пи­шет­ся в окон­ча­нии с глас­ной «ы»: с Вла­совым (Пет­ровым, Пуш­киным). А не-фа­ми­лии будут пи­сать­ся с бук­вой «о»: с (чем?) с го­ро­дом Вла­со­вом (Пет­ро­вом, Пуш­ки­ном) у меня свя­за­но много вос­по­ми­на­ний. За­пи­шем слово пра­виль­но в пред­ло­же­ние:

Ответ: Вла­со­вым.